درسنامه آموزشی فصل هشتم ریاضی کلاس نهم
درس 3: سطح و حجم
فعالیت (صفحهٔ 140 کتاب درسی)
1- با توجه به اندازههای ابعاد مکعب و مکعب مستطیل، اندازهٔ ضلعها را در گستردهٔ هر کدام مشخص کنید.
2- مساحت گستردهٔ هر یک از هرمها را با توجه به اندازههای روی هر هرم محاسبه کنید.
${{h}^{2}}={{8}^{2}}-{{2}^{2}}\Rightarrow {{h}^{2}}=64-4=60\,\Rightarrow h=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$
4$S=4\times \frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{15}\Rightarrow S=16\sqrt{15}$ مثلث
$16\sqrt{15}+16$= S مربع + S 4 مثلث S= کل شکل $S={{4}^{2}}=16\Rightarrow $ مربع
$S=16(\sqrt{15}+1)$ کل شکل
${{h}^{2}}={{5}^{2}}-{{(\frac{5}{2})}^{2}}=25-\frac{25}{4}\Rightarrow {{h}^{2}}=\frac{75}{4}\Rightarrow h=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
$S=\frac{1}{2}\times 5\times \frac{5\sqrt{3}}{2}$ مثلث
$=\frac{\sqrt{3}}{4}25$ مساحت یک مثلث
$4S=4\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 25=25\sqrt{3}$ مثلث
3- با $\frac{3}{4}$ دایرهای به شعاع سانتی متر یک سطح مخروطی شکل درست کردهایم؛ طول کمان AB چقدر است؟
چه رابطهای بین طول کمان AB و محیط دایره قاعدهٔ مخروط وجود دارد؟ شعاع قاعده مخروط را پیدا کنید.
$=\frac{3}{4}\times 20\times 3/14=15\times 3/14=47/1$ محیط دایره به شعاع $\overset\frown{AB}=\frac{3}{4}\times 10$ طول کمان
طول کمان $\overset\frown{AB}$ و محیط دایره قاعده مخروط با هم برابر هستند.
کار در کلاس (صفحهٔ 141 کتاب درسی)
1- مساحت کل هرم منتظم مقابل را به دست آورید. طول همهٔ یالهای آن a است.
در مثلث متساویالاضلاع به ضلع a داریم:
${{h}^{2}}={{a}^{2}}-{{(\frac{a}{2})}^{2}}\Rightarrow {{h}^{2}}={{a}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
ارتفاع × قاعده $S=\frac{1}{2}$ مثلث متساویالاضلاع به ضلع a
$S=\frac{1}{2}\times a\times \frac{\sqrt{3}}{2}a\Rightarrow S=\frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}$ مثلث متساویالاضلاع به ضلع a
$S=4\times \frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$ 4 مثلث = S کل
2- با توجه به اندازههای داده شده، گستردهٔ هرم را رسم کنید و مساحت جانبی آن را به دست آورید.
5 = نصف اندازه ضلع شش ضلعی منتظم
$O{{H}^{2}}={{20}^{2}}-{{5}^{2}}=400-25=375\,\Rightarrow OH=\sqrt{375}=5\sqrt{15}$
$S=\frac{1}{2}\times 10\times 5\sqrt{15}=25\sqrt{5}$ یک وجه هرم
$S=6\times 25\sqrt{5}=150\sqrt{5}$ جانبی هرم
فعالیت (صفحهٔ 141 کتاب درسی)
1- با دوران دادن یک مستطیل حول ضلع آن چه حجمی به دست میآید؟ استوانه
شعاع قاعدهٔ شکل حاصل: عرض مستطیل
ارتفاع شکل حاصل: طول مستطیل
حجم شکل حاصل را پیدا کنید.
$=\pi {{r}^{2}}h$ حجم استوانه
$3\times 3\times \pi \times 10=90\pi $
2- اگر مثلث قائم الزاویه را حول ضلع مشخص شده در شکل، دوران دهیم، چه شکلی به دست میآید؟ حجم آن را پیدا کنید.
شعاع قاعدهٔ شکل حاصل: 3
ارتفاع شکل حاصل: 10
$=\frac{1}{3}\times \pi {{r}^{2}}h$ حجم مخروط
$\frac{1}{3}\times \pi \times {{3}^{2}}\times 10=30\pi $
$=\frac{1}{3}\times \pi \times {{3}^{2}}\times 10=3\times 3/14\times 10=94/2$ (ارتفاع × مساحت قاعده) $V=\frac{1}{3}$ مخروط
3- در هر شکل با توجه به محور دوران، که در هر یک مشخص شده است، شکل حجم حاصل را توصیف کنید.
|
|
|
کار در کلاس (صفحهٔ 142 کتاب درسی)
حجم حاصل از دوران یک ربع دایره به شعاع 5cm را حول شعاع آن پیدا کنید.
فعالیت (صفحهٔ 142 کتاب درسی)
1- با توجه به حجم زیر، در صفحهٔ شطرنجی زیر سطح دیده شده از جهتهای مشخص شده را رسم کنید.
2- اگر هر کدام از هرمهای منتظم زیر را از بالا نگاه کنیم، چه شکلی دیده میشود؟
الف) هرم منتظم با قاعدهٔ مثلث ==> مثلث متساویالاضلاع
ب) هرم منتظم با قاعدهٔ مربع ===> مربع
ج) هرم منتظم با قاعدهٔ شش ضلعی ==> شش ضلعی منتظم
3- کره مقابل با یک صفحه بریده شده است. سطح بریده شده چه شکلی دارد؟ در چه صورت این شکل بیشترین مساحت را دارد؟
شکل دایره - صفحه به طور افقی کره را بریده باشد.
4- در شکل مقابل، چه کسری از حجم کره برداشته شده است؟
$\frac{1}{8}$ حجم کره برداشته شده است.
کار در کلاس (صفحهٔ 143 کتاب درسی)
یک اسفنج مکعب شکل به ضلع a شکل مقابل بریدهایم. سطح بریده شده به چه شکلی است؟ اندازه ضلعهای آن را پیدا کنید.
شکل مستطیل است که عرض آن همان ضلع مکعب یعنی a میباشد و طول مستطیل برابر است با قطر مربع به ضلع a که برابر است با $a\sqrt{2}$.
طول مستطیل $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow A{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$
تمرین (صفحهٔ 143 کتاب درسی)
1- حجم و سطح کل شکلهای زیر را پیدا و باهم مقایسه کنید.
الف)
$\begin{align}& V=\frac{\pi {{a}^{2}}}{4}\times a=\frac{\pi {{a}^{3}}}{4} \\ & S=\pi {{a}^{2}}=+\frac{\pi {{a}^{2}}}{2}=\frac{3\pi {{a}^{2}}}{2} \\ & \frac{V}{S}=\frac{\frac{\pi {{a}^{3}}}{4}}{\frac{3\pi {{a}^{2}}}{2}}=\frac{a}{6} \\ \end{align}$
ب)
$\begin{align}& V=\pi {{a}^{3}} \\ & S=2{{a}^{2}}\pi +2\pi {{a}^{2}}=4\pi {{a}^{2}} \\ & \frac{V}{S}=\frac{a}{4} \\ \end{align}$
ج)
$\begin{align}& V=\frac{4}{3}\pi {{a}^{3}} \\ & S=4\pi {{a}^{2}} \\ & \frac{V}{S}=\frac{a}{3} \\ \end{align}$
د)
$\begin{align}& V={{a}^{3}} \\ & S=6{{a}^{2}} \\ & \frac{V}{S}=\frac{{{a}^{3}}}{6{{a}^{2}}}=\frac{a}{6} \\ \end{align}$
در هر مورد، نسبت حجم به سطح ($\frac{V}{S}$) را به دست آورید. در کدام شکل این نسبت بزرگتر است؟ در شکل کره این نسبت از همه بزرگتر است.
2- از یک مقوا به ضلع a گوشههای مربع شکل به ضلع x را بریده و با سطح باقیمانده یک جعبه مکعب مستطیل شکل درست کردهایم. چه رابطهای باید بین a و x باشد تا بتوان چهار کره را به شعاع x داخل این جعبه جای داد به طوری که هر کره به کرهٔ مجاورش و به دیوارهٔ جعبه مماس باشد؟
x باید کوچکتر یا مساوی $\frac{1}{6}$ ضلع مقوا باشد. $x\le \frac{1}{6}a$